Від лінійної до нелінійної: чому кореляція Спірмена важливіша, ніж ви думаєте

Коэффициент кореляції, пояснений за 30 секунд

Коефіцієнт кореляції — це в основному один показник, який кількісно визначає, наскільки тісно дві змінні рухаються разом. Він коливається від -1 до 1: числа, що наближаються до 1, свідчать про синхронне зростання або спад, близькі до -1 — про зворотний рух, а значення навколо 0 — про мінімальний лінійний зв’язок. Цей стандартизований показник застосовний у різних галузях — науці, інженерії, особливо у фінансах — оскільки він перетворює хаотичні розсіяння точок у зрозуміле число.

Чому інвесторам важливо (і коли вони не повинні )

У управлінні портфелем кореляція відкриває можливості для диверсифікації. Коли ви поєднуєте активи з низькою або негативною кореляцією, ви знижуєте загальну волатильність портфеля — критично важливо під час ринкових потрясінь. Фінансові стратеги використовують аналіз кореляції для хеджування ризиків, факторного інвестування та статистичного арбітражу. Але є нюанс: багато інвесторів покладаються лише на коефіцієнт Пірсона, пропускаючи зв’язки, що не йдуть по прямій.

Три типи кореляції, які потрібно знати

Кореляція Пірсона відображає лінійний зв’язок між безперервними змінними. Це стандарт у галузі, але вона має сліпе місце: не враховує криві або ступінчасті закономірності.

Кореляція Спірмена працює інакше. Замість сирих значень вона ранжує дані і вимірює монотонний зв’язок — тобто виявляє асоціації, де одна змінна послідовно рухається з іншою, навіть якщо зв’язок кривий. Це особливо корисно при роботі з реальними фінансовими даними, що часто містять выброси або мають не нормальний розподіл. Трейдери, що працюють з порядковими даними (як рейтинги ринків або класифікація рівнів), знаходять кореляцію Спірмена більш надійною за кореляцію Пірсона.

Кендалл tau — ще один ранговий показник, зазвичай більш стійкий при малих вибірках або великій кількості зв’язаних значень.

Обирати правильний показник — не академічна формальність, а безпосередньо впливає на ваші торгові рішення. Високе значення Пірсона гарантує лише лінійний зв’язок; кривий зв’язок може ховатися, якщо не застосовувати кореляцію Спірмена або подібні методи.

Математика кореляції (розвінчана)

Формула Пірсона досить проста: ділимо коваріацію двох змінних на добуток їхніх стандартних відхилень. Це стандартизація, яка дозволяє порівнювати різні змінні на шкалі від -1 до 1.

Формула: Кореляція = Коваріація(X, Y) / (SD(X) × SD(Y))

Проходження через базовий приклад

Візьмемо чотири парні спостереження:

• X: 2, 4, 6, 8
• Y: 1, 3, 5, 7

1. Обчислюємо середні: X середнє = 5, Y середнє = 4
2. Обчислюємо відхилення від середнього для кожного значення
3. Перемножуємо парні відхилення і підсумовуємо — це чисельник коваріації 4( Обчислюємо стандартні відхилення для обох рядів
4. Ділимо коваріацію на добуток стандартних відхилень, отримуємо r

Результат: r ≈ 0.98, що свідчить про майже ідеальний позитивний зв’язок, оскільки Y зростає пропорційно X.

Реальні дані рідко працюють так чисто, тому автоматизовані інструменти виконують обчислення. Але розуміння механізму допомагає уникнути неправильних висновків із результатів програм.

Тлумачення значень кореляції: спектр інтерпретацій

Не існує універсального порогу, але практики дотримуються таких правил:

• 0.0 до 0.2: Незначний зв’язок
• 0.2 до 0.5: Слабка кореляція
• 0.5 до 0.8: Помірна або сильна кореляція
• 0.8 до 1.0: Дуже сильна кореляція

Негативні значення віддзеркалюють цей масштаб, але сигналізують про зворотний рух )наприклад, -0.7 = досить сильний негативний зв’язок).

Важливе зауваження: різні галузі встановлюють різні межі для «значущості». У фізиці експериментальні дані вимагають кореляцій близько ±1 для значущості, тоді як у соціальних науках допускають нижчі пороги через людську поведінку, що додає шуму.

Ловушка розміру вибірки: чому ваша кореляція може бути ілюзією

Коефіцієнт кореляції, отриманий із 10 точок даних, розповідає іншу історію, ніж той самий показник із 1000 спостережень. Щоб відрізнити справжній зв’язок від статистичних випадковостей, потрібно обчислити p-значення або довірчий інтервал навколо r. Великі вибірки роблять навіть слабкі кореляції статистично значущими; малі — вимагають набагато більшого значення для досягнення значущості.

Завжди ставте питання: «Це справжній зв’язок, чи просто випадковий шум?»

П’ять критичних обмежень перед торгівлею

1. Кореляція ≠ причинність. Дві змінні можуть рухатися разом, але одна не обов’язково викликає іншу — часто третя прихована причина керує обома.

2. Обмеження лінійності Пірсона. Криві зв’язки можуть мати низький коефіцієнт Пірсона, хоча реальний зв’язок сильний. Тут допомагає кореляція Спірмена, яка захоплює нелінійні монотонні закономірності.

3. Вразливість до выбросів. Один екстремальний выброс може суттєво змінити r, спотворюючи аналіз.

4. Припущення про розподіл. Не-нормальні розподіли та категорійні дані порушують основні припущення Пірсона. Замість цього використовуйте кореляцію Спірмена або Cramér’s V для категорійних зв’язків.

5. Часова нестабільність. Кореляції змінюються з часом і часто зникають під час ринкових криз — саме тоді, коли диверсифікація найбільш важлива.

( Коли Пірсон не працює, спробуйте альтернативи

Для монотонних нелінійних зв’язків кореляція Спірмена і Кендалла tau дають більш точну картину. Для категорійних даних потрібні таблиці сопряженості і Cramér’s V.

Реальні застосування у портфелі

Акції та облігації: Історично акції США і державні облігації мають низький або негативний зв’язок, що пом’якшує падіння ринку.

Сировинні активи: Доходи від акцій нафтових компаній і ціни на нафту здаються пов’язаними інтуїтивно, але довгострокові дослідження показують лише помірний і нестабільний зв’язок — нагадування, що поверхнева логіка може вводити в оману.

Стратегії хеджування: Трейдери шукають активи з негативною кореляцією для зменшення ризиків, але хеджі працюють лише за умови збереження цієї кореляції. Ринкові збої можуть зруйнувати ці припущення миттєво.

Обчислення кореляції: практичний інструментарій Excel

Для однієї пари змінних:
Використовуйте =CORREL)діапазон1, діапазон2### для обчислення коефіцієнта Пірсона.

Матриця кореляцій для кількох рядів:
Увімкніть Надбудову Аналіз даних, оберіть “Кореляція” у меню Аналіз даних, введіть діапазони і отримайте повну матрицю кореляцій.

Поради: Переконайтеся, що діапазони співпадають, враховуйте заголовки і перевіряйте дані на выброси перед довірою результатам.

R проти R²: розуміння різниці

R (коефіцієнт кореляції) — це показник сили і напрямку лінійного зв’язку, що показує, наскільки тісно точки розташовані навколо лінії.

R² (R-квадрат) — це квадрат R і показує частку дисперсії Y, яку можна пояснити X за лінійних припущень. Якщо R = 0.7, тоді R² = 0.49, тобто близько 49% варіації Y можна передбачити з X.

Інвестори зазвичай звертають увагу на R² при оцінці регресійних моделей, але R показує, чи зв’язок позитивний чи негативний — важливий контекст, який R² сам по собі не дає.

Проблема з часом: коли перераховувати

Ринкові режими змінюються. Фінансові кризи, технологічні збої і регуляторні зміни змінюють усталені кореляції. Для стратегій, що залежать від стабільних зв’язків, періодично перераховуйте кореляції і слідкуйте за ковзними вікнами, щоб виявити зміни режиму до того, як вони зашкодять позиціям.

Використання застарілих даних може спричинити зламані хеджі, хибну диверсифікацію і неправильне врахування факторів.

Ваш чек-лист перед аналізом

Перед застосуванням аналізу кореляції:

• Побудуйте розсіяну діаграму, щоб візуально підтвердити лінійність (або нелінійність)
• Перевірте на выброси і вирішіть: видалити, залишити або скоригувати
• Переконайтеся, що типи даних і розподіли відповідають обраному методу
• Проведіть тест на значущість, особливо при малих вибірках
• Моніторте ковзні кореляції з часом, щоб виявити нестабільність

Основний висновок

Коефіцієнт кореляції зводить зв’язок між двома змінними до одного зрозумілого числа. Він використовується у побудові портфелів, управлінні ризиками і дослідницькому аналізі. Але це не ідеальний інструмент: він не встановлює причинно-наслідковий зв’язок, не враховує нелінійні закономірності і може бути спотворений выбросами або розміром вибірки.

Розглядайте кореляцію як стартову точку, а не кінцеву. Поєднуйте її з візуальним аналізом, альтернативними мірками, наприклад кореляцією Спірмена, і ретельним тестуванням значущості, щоб ухвалювати обґрунтовані рішення, коли ринки випробовують ваші припущення.